题目内容
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，A=
．
（I 若|
+
|=2
，试判定△ABC的形状；
（II）若sinA+sin（B-C）=2sin2C，求△ABC的面积．
| π |
| 3 |
（I 若|
| AB |
| AC |
| 3 |
（II）若sinA+sin（B-C）=2sin2C，求△ABC的面积．
分析：（I ）通过a=2，A=
，利用余弦定理得到a，b，c的关系式，通过|
+
|=2
，联立方程组，求出a，b，c即可判定△ABC的形状；
（II）利用两角差的正弦函数化简sinA+sin（B-C）=2sin2C，通过对cosC讨论，结合b2+c2-bc=4，求出b，c的值，即可求△ABC的面积．
| π |
| 3 |
| AB |
| AC |
| 3 |
（II）利用两角差的正弦函数化简sinA+sin（B-C）=2sin2C，通过对cosC讨论，结合b2+c2-bc=4，求出b，c的值，即可求△ABC的面积．
解答：解：（I ）因为a=2，A=
．由余弦定理可得b2+c2-bc=4．又|
+
|=2
．
所以|
+
|2=12．即b2+c2+bc=12，所以
解得b=c=2．a=2，
所以三角形是正三角形．
（II）由sinA+sin（B-C）=2sin2C得sin（B+C）+sin（B-C）=2sin2C．
即sinBcosC=2sinCcosC．
当cosC=0时C=
，B=
，c=
，b=
；
当cosC≠0时，有sinB=2sinC，由正弦定理得b=2c．
联立方程组
解得b=
，c=
所以三角形的面积为S=
bcsinA=
．
| π |
| 3 |
| AB |
| AC |
| 3 |
所以|
| AB |
| AC |
|
所以三角形是正三角形．
（II）由sinA+sin（B-C）=2sin2C得sin（B+C）+sin（B-C）=2sin2C．
即sinBcosC=2sinCcosC．
当cosC=0时C=
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
4
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
当cosC≠0时，有sinB=2sinC，由正弦定理得b=2c．
联立方程组
|
4
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
所以三角形的面积为S=
| 1 |
| 2 |
2
| ||
| 3 |
点评：本题是中档题，考查余弦定理两角和与差的三角函数，在三角形中的应用，考查分类讨论思想，计算能力．
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