Question

有人玩掷硬币走跳跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是0.5．棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…第10站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次． 若掷出正面，棋向前跳一站（从k到k+1）；若掷出反面，棋子向前跳二站（从k到k+2），直到棋子跳到第9站（胜利大本营）或跳到第10站（失败集中营）时，该游戏结束．那么棋子跳到第10站的概率为______．

Answer 1

设棋子跳到第n站的概率为P（n），
根据题意，棋子要到第n站，有两种情况，（2≤n≤10）
①由第（n-1）站跳到，即第（n-1）站时掷出正面，其概率为

1

2

P（n-1），
②由第（n-2）站跳到，即第（n-2）站时掷出反面，其概率为

1

2

P（n-2），
则P（n）=

1

2

P（n-1）+

1

2

P（n-2），
∴P（n+1）=

1

2

P（n）+

1

2

P（n-1），
两边都减去P（n），得P（n+1）-P（n）=-

1

2

[P（n）-P（n-1）]，（1≤n≤9，n∈N），
故数列{P（n+1）-P（n）}是等比数列，它的公比为-

1

2

，
∵P（1）=

1

2

，P（2）=

1

2

×

1

2

+

1

2

=

3

4

，
首项为    P（2）-P（1）=

1

4

=(-

1

2

)2…（1）
第二项为  P（3）-P（2）=-

1

2

[P（2）-P（1）]=-

1

8

=(-

1

2

)3…（2）
第三项为  P（4）-P（3）=-

1

2

[P（3）-P（2）]=

1

16

=(-

1

2

)4…（3）
…
第九项为 P（10）-P（9）=-

1

2

[P（9）-P（8）]=

1

210

=(-

1

2

)10…（9）
将此九个式累加，得P（10）-P（1）=[(-

1

2

)2+(-

1

2

)3+(-

1

2

)4+…+(-

1

2

)10]=

1 4 [1-( - 1 2 )9]

1-(- 1 2 )

=

171

1024

∴P（10）=P（1）+

171

1024

=

1

2

+

171

1024

=

683

1024

故答案为：

683

1024