题目内容
在椭圆
+
=1内有一点M（4，-1），使过点M的弦AB的中点正好为点M，求弦AB所在的直线的方程．
| x2 |
| 40 |
| y2 |
| 10 |
分析：假设直线AB的方程与椭圆方程联立，消去y得x的方程，利用M是弦AB的中点，建立方程，可求得k的值，验证此时方程的判别式大于0，从而得解．
解答：解：由题意，直线的斜率存在
设直线的斜率为k，则方程为y+1=k（x-4），与椭圆
+
=1联立，
消去y得（1+4k2）x2-（32k2+8k）x-40=0，
∴x1+x2=
∵M是弦AB的中点，
∴
=8，解得k=1，
此时方程（1+4k2）x2-（32k2+8k）x-40=0的判别式大于0，从而直线AB与椭圆有两个交点，k=1符合题意．
∴AB的方程是x-y-5=0．
设直线的斜率为k，则方程为y+1=k（x-4），与椭圆
| x2 |
| 40 |
| y2 |
| 10 |
消去y得（1+4k2）x2-（32k2+8k）x-40=0，
∴x1+x2=
| 32k2+8k |
| 1+4k2 |
∵M是弦AB的中点，
∴
| 32k2+8k |
| 1+4k2 |
此时方程（1+4k2）x2-（32k2+8k）x-40=0的判别式大于0，从而直线AB与椭圆有两个交点，k=1符合题意．
∴AB的方程是x-y-5=0．
点评：本题考查的重点是椭圆中弦中点问题，解题的关键是假设方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求解．
练习册系列答案
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已知点P在椭圆
+
=1上，F1，F2是椭圆的两个焦点，△F1PF2是直角三角形，则这样的点P有（ ）
| x2 |
| 40 |
| y2 |
| 20 |
| A、2个 | B、4个 | C、6个 | D、8个 |