题目内容
20.已知x≥$\frac{3}{2}$,则$\frac{{2{x^2}-2x+1}}{x-1}$的最小值为2$\sqrt{2}$+2.分析 先把$\frac{{2{x^2}-2x+1}}{x-1}$变形为2(x-1)+$\frac{1}{x-1}$+2,然后利用基本不等式进行计算即可.
解答 解:$\frac{{2{x^2}-2x+1}}{x-1}$=$\frac{2x(x-1)+1}{x-1}$=2(x-1)+$\frac{1}{x-1}$+2≥2$\sqrt{2(x-1)×\frac{1}{x-1}}$+2=$2\sqrt{2}+2$.
当且仅当2(x-1)=$\frac{1}{x-1}$即x=$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$时取“=”.
∵x=$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$≥$\frac{3}{2}$,
∴x=$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$符合题意,即$\frac{{2{x^2}-2x+1}}{x-1}$的最小值为$2\sqrt{2}+2$;
故答案是:$2\sqrt{2}+2$.
点评 本题考查了基本不等式.将$\frac{{2{x^2}-2x+1}}{x-1}$变形为2(x-1)+$\frac{1}{x-1}$+2是解题的难点.
练习册系列答案
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