Question

已知函数f(x)=

lnx

x

-1
（1）试判断函数f（x）的单调性；
（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）试证明：对?n∈N^*，不等式ln(

1+n

n

)e＜

1+n

n

．

Answer 1

分析：（1）利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；
（2）利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；
（3）利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）
由已知f′(x)=

1-lnx

x2

令f′（x）=0得，1-lnx=0，∴x=e
∵当0＜x＜e时，f′(x)=

1-lnx

x2

＞0，
当x＞e时，f′(x)=

1-lnx

x2

＜0
∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，

（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减
故①当0＜2m≤e即0＜m≤

e

2

时，f（x）在[m，2m]上单调递增
∴f(x)max=f(2m)=

ln(2m)

2m

-1，
②当m≥e时，f（x）在[m，2m]上单调递减
∴f(x)max=f(m)=

lnm

m

-1，
③当m＜e＜2m，即

e

2

＜m＜e时
∴f(x)max=f(e)=

1

e

-1．

（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，f(x)max=f(e)=

1

e

-1，
∴在（0，+∞）上恒有f(x)=

lnx

x

-1≤

1

e

-1，
即

lnx

x

≤

1

e

且当x=e时“=”成立，
∴对?x∈（0，+∞）恒有lnx≤

1

e

x，
∵

1+n

n

＞0，

1+n

n

≠e，
∴ln

1+n

n

＜

1

e

•

1+n

n

?ln(

1+n

n

)e＜

1+n

n

即对?n∈N^*，不等式ln(

1+n

n

)e＜

1+n

n

恒成立．

点评：本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，注意问题的等价转化性．