Question

选修4-2：矩阵与变换求矩阵

2 1 1 2

的特征值及对应的特征向量．

Answer 1

分析：先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．

解答：解：特征多项式f（λ）=

.

λ-2 -1 -1 λ-2

.

=(λ-2)2-1=λ2-4λ+3，（3分）
由f（λ）=0，解得λ₁=1，λ₂=3．（6分）
将λ₁=1代入特征方程组，得

-x-y=0 -x-y=0

?x+y=0．
可取

1 -1

为属于特征值λ₁=1的一个特征向量．（8分）
将λ₂=3代入特征方程组，得

x-y=0 -x+y=0

?x-y=0．
可取

1 1

为属于特征值λ₂=3的一个特征向量．
综上所述，矩阵

2 1 1 2

有两个特征值λ₁=1，λ₂=3；
属于λ₁=1的一个特征向量为

1 -1

，
属于λ₂=3的一个特征向量为

1 1

．（10分）．

点评：主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．