题目内容
双曲线
-
=1的两条渐近线分别为l1，l2，右焦点为F，若在右支上存在一点P，使得P到l1的距离d1、
|PF|、P到l2的距离d2依次成等比数列，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
分析：求出双曲线
-
=1的两条渐近线方程，可求d1=
，d2=
，利用P到l1的距离d1、
|PF|、P到l2的距离d2依次成等比数列，可得
|PF|2=
，结合|PF|≥c-a，即可得出结论．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| |bx+ay| | ||
|
| |bx-ay| | ||
|
| ||
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| a2b2 |
| c2 |
解答：解：设P（x，y）（x≥a），则
∵双曲线
-
=1的两条渐近线分别为bx+ay=0，bx-ay=0，
∴d1=
，d2=
，
∴d1d2=
•
=
=
，
∵P到l1的距离d1、
|PF|、P到l2的距离d2依次成等比数列，
∴
|PF|2=
，
∴|PF|2=
∵|PF|≥c-a，
∴
≥(c-a)2，
∴4a2（c2-a2）≥3c2（c-a）2，
∴3e3-e-2≤0，
∵e＞1，
∴1＜e≤2．
故选D．
∵双曲线
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴d1=
| |bx+ay| | ||
|
| |bx-ay| | ||
|
∴d1d2=
| |bx+ay| | ||
|
| |bx-ay| | ||
|
| b2x2-a2y2 |
| c2 |
| a2b2 |
| c2 |
∵P到l1的距离d1、
| ||
| 2 |
∴
| 3 |
| 4 |
| a2b2 |
| c2 |
∴|PF|2=
| 4a2b2 |
| 3c2 |
∵|PF|≥c-a，
∴
| 4a2b2 |
| 3c2 |
∴4a2（c2-a2）≥3c2（c-a）2，
∴3e3-e-2≤0，
∵e＞1，
∴1＜e≤2．
故选D．
点评：本题考查双曲线的离心率，考查等比数列的性质，考查学生的计算能力，难度大．
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若点O和点F（-2，0）分别是双曲线
-y2=1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则
•
的取值范围为（ ）
| x2 |
| a2 |
| OP |
| FP |
A、[3-2
| ||
B、[3+2
| ||
C、[-
| ||
D、[
|
已知双曲线
-y2=1的一个焦点坐标为(-
，0)，则其渐近线方程为（ ）
| x2 |
| a2 |
| 3 |
A、y=±
| ||||
B、y=±
| ||||
| C、y=±2x | ||||
D、y=±
|