Question

已知开口向上的二次函数f（x），对任意x∈R，恒有f（2-x）=f（2+x）成立，设向量a=（|x+2|+|2x-1|，1），b=（1，2）．求不等式f（a•b）＜f（5）的解集．

Answer 1

分析：由已知中二次函数f（x）对任意x∈R，恒有f（2-x）=f（2+x）成立，可得函数图象的对称轴为直线x=2，又由函数图象的开口方向向上，故不等式f（

a

•

b

）＜f（5）可以转化为-1＜

a

•

b

＜5，根据向量数量公式，我们可以构造出关于x的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：由题意知f（x）在[2，+∞）上是增函数，…（1分）
∵

a

•

b

=|x+2|+|2x-1|+2≥2…（2分）
∴f（

a

•

b

）＜f（5）?a•b＜5?|x+2|+|2x-1|＜3（*）   …（3分）
当x≤-2时，不等式（*）可化为-（x+2）-（2x-1）＜3，
∴x＞-

4

3

，…（5分）
此时x无解；…（6分）
当-2＜x＜

1

2

时，不等式（*）可化为x+2-（2x-1）＜3，
∴x＞0，…（8分）
此时0＜x＜

1

2

；…（9分）
当x≥

1

2

时，不等式（*）可化为x+2+2x-1＜3，
∴x＜

2

3

，…（11分）
此时

1

2

≤x＜

2

3

．…（12分）
综上可知：不等式f（a•b）＜f（5）的解集为(0，

2

3

)．…（13分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，绝对值不等式的解法，平面向量的数量积运算，其中根据已知条件分析出二次函数的图象及性质，并将不等式f（

a

•

b

）＜f（5）可以转化为-1＜

a

•

b

＜5，是解答本题的关键．