题目内容

阅读下面材料：

    根据两角和与差的正弦公式，有

------①

        ------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得 .

 (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:

;

 (Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.

(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

 

【答案】

 (Ⅰ)证明见解析    (Ⅱ) 为直角三角形

【解析】本试题主要考查了三角函数公式的化简，和解三角形和类比推理的综合运用。

（1）利用两角和差的余弦公式，进行联立方程组，求解结论。

（2）利用二倍角公式展开，升幂将角，然后得到三边平方和的关系式，从而确定三角形的形状为直角三角形。

解法一：(Ⅰ)证明:因为，------①

          ，------②…………………1分

①-② 得.------③……………………2分

令有，

代入③得.………………………………5分

(Ⅱ)由二倍角公式,可化为

       ,………………………………8分

       所以.…………………………………9分

设的三个内角A,B,C所对的边分别为，

由正弦定理可得.………………………………11分

根据勾股定理的逆定理知为直角三角形.…………………………………12分

解法二：(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,可化为

，……………………8分

因为A,B,C为的内角，所以，

所以又因为，所以,

所以    从而.………………………9分

又,所以，故.   所以为直角三角形.

 

练习册系列答案
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阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
α+β=A，α-β=B 有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+cosB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（1）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（2）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A+cox2C-cos2B=1，直接利用阅读材料及（1）中的结论试判断△ABC的形状．
阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ…①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ…②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ…③
令α+β=A，α-β=B有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A-cos2B=1-cos2C，试判断△ABC的形状．（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）
阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=β 有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+subB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ） 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）求值：sin220°+cos250°+sin20°cos50°（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）
（2012•福建模拟）阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=B有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A-cos2B=2sin2C，试判断△ABC的形状．
（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）

阅读下面材料：

根据两角和与差的正弦公式，有

------①

------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得 ．

(Ⅰ)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:

;

(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状．

(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

 

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