Question

已知数列{a_n}的前项和为s_n，且s_n+1=4a_n+2（n∈N⁺），a₁=1，．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求b₁并证明数列{b_n}为等比数列；
（2）设c_n=

an

2n

，求证{c_n}是等差数列．

Answer 1

分析：（1）利用数列的递推，分别表示出s_n+1和s_n+2，两式相减，整理可得a_n+2-2a_n+1=2a_n+1-4a_n，进而把b_n代入求得

bn+1

bn

=2推断出{b_n}为首项为3，公比为2的等比数列．
（2）通过（1）利用等比数列的通项公式求得b_n，然后利用b_n=a_n+1-2a_n，整理出cn+1-cn=

3

4

判断出数列{c_n}是等差数列．

解答：解：（1）∵a₁=1，s₂=4a₁+2，得a₂=s₂-a₁=3a₁+2=5，
∴b₁=5-2=3，
由s_n+1=4a_n+2，得s_n+2=4a_n+1+2，
两式相减得s_n+2-s_n+1=4（a_n+1-a_n），
即a_n+2=4（a_n+1-a_n），亦即a_n+2-2a_n+1=2a_n+1-4a_n
∵b_n=a_n+1-2a_n，∴b_n+1=2b_n
∴

bn+1

bn

=2，对n∈N^*恒成立，∴{b_n}为首项为3，公比为2的等比数列
（2）由（1）得b_n=3•2^n-1，∵b_n=a_n+1-2a_n
∴a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，即cn+1-cn=

3

4

，又c₁=

1

2

∴{c_n}为首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列

点评：本题主要考查了数列的递推式，等比数列和等差数列的性质．考查了基础知识的综合运用．