Question

（15）数列｛a_n｝中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列.

（Ⅰ）求c的值；

（Ⅱ）求｛a_n｝的通项公式.

Answer 1

解：（Ⅰ）a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，

因为a₁，a₂，a₃成等比数列，

所以（2+c）²=2（2+3c），

解得c=0或c=2.

当c=0时，a₁=a₂=a₃，不符题意舍去，故c=2.

（Ⅱ）当n≥2时，由于

a₂-a₁=c，

a₃-a₂=2c，

……

a_n-a_n-1=（n-1）c，

所以a_n-a₁=［1+2+…+（n-1）］c=c.

又a₁=2，c=2，故a_n=2+n（n-1）=n²－n+2（n=2，3，…）.

当n=1时，上式也成立，

所以a_n=n²-n+2（n=1，2，…）.