Question

平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上 两点，所成的曲线可以是圆，椭圆或双曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系;
（Ⅱ）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，若曲线的斜率为的切线与曲线相交于两点，且（为坐标原点），求曲线的方程．

Answer 1

（Ⅰ）当曲线的方程为，是焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线的方程为，是圆心在原点，半径为2的圆；
当时，曲线的方程为，是焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线的方程为，是焦点在轴上的双曲线．
（Ⅱ）.

试题分析：（I）设动点为M，其坐标为，
当时，由条件可得，
即，又的坐标满足，故依题意，曲线的方程为．  
当曲线的方程为，是焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线的方程为，是圆心在原点，半径为2的圆；
当时，曲线的方程为，是焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线的方程为，是焦点在轴上的双曲线． 
（Ⅱ）曲线；，：， 设圆的斜率为的切线和椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，令直线AB的方程为，①
将其代入椭圆的方程并整理得
由韦达定理得②
因为 ，所以    ③
将①代入③并整理得 
联立②得④，因为直线AB和圆相切，因此，，
由④得 所以曲线的方程，即．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查圆锥曲线的轨迹问题，突出化归思想、分类讨论思想、方程思想的考查，综合性强，难度大，属于难题．