Question

如图（1）是一个水平放置的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是棱BC的中点．正三棱柱的主视图如图（2）．
（Ⅰ） 图（1）中垂直于平面BCC₁B₁的平面有哪几个？（直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明）
（Ⅱ）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（Ⅲ）证明：A₁B∥平面ADC₁．

Answer 1

解：（Ⅰ）平面ABC、平面A₁B₁C₁、平面AC₁D．（3分）（每对1个给1分）
（Ⅱ）依题意，在正三棱柱中，AA₁=3，，从而BC=2．（5分），
所以正三棱柱的体积=．（7分）．
（Ⅲ）连接A₁C，设A₁C∩AC₁=E，连接DE，
因为AA₁C₁C是正三棱柱的侧面，所以AA₁C₁C是矩形，E是A₁C的中点，
所以DE是△A₁BC的中位线，DE∥A₁B．（10分）
因为DE?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，所以A₁B∥平面ADC₁．（12分）．
分析：（I）根据直棱柱的定义，可以判断底面与侧面垂直，再结合面面垂直的判定定理，可以判断过AD的平面均与侧面BCC₁B₁垂直，由此即可得到答案．
（II）由已知中的主视图中标识的数据，易判断棱柱的高为3，棱柱底面的高，则此计算出棱柱的底面积和高，代入即可得到棱柱的体积．
（III）连接A₁C，利用三角形中位线定理，易得到面内一线与面外一线平面，进而得到线面平行．
点评：本题考查的知识点是棱柱的体积公式，线面平行的判断，其中熟练掌握棱柱的几何特征，掌握线面关于的判定定理，是解答本题的关键．