题目内容

设函数f(x)=
1
2
x-
1
8
sin2x-
3
8
cos2x．
（1）试判定函数f（x）的单调性，并说明理由；
（2）已知函数f（x）的图象在点A（x0，f（x0））处的切线斜率为
1
2
，求
2sin2x0+sin2x0
1+tanx0
的值．
f′(x)=
1
2
-
1
4
cos2x+
3
4
sin2x=
1
2
sin(2x-
π
6
)+
1
2
≥0，
∴f（x）定义域内单调递增．（4分）
（2）由f′(x0)=
1
2
sin(2x0-
π
6
)+
1
2
=
1
2
，
得：sin(2x0-
π
6
)=0．∴2x0-
π
6
=kπ(k∈Z)，
得2x0=kπ+
π
6
(k∈Z)，（4分）
∴
2sin2x0+sin2x0
1+tanx0
=
2sinx0cosx0(sinx0+cosx0)
cosx0+sinx0

=sin2x0=sin(kπ+
π
6
)=
3
2
k取偶数时
-
3
2
k取奇数时
（6分）
练习册系列答案
相关题目
设函数f(x)=
(
1
2
)x-7 (x＜0)
x
 (x≥0)
，若f(a)＜1，则实数a的取值范围是（　　）
A、（-∞，-3）
B、（1，+∞）
C、（-3，1）
D、（-∞，-3）∪（1，+∞）
设函数f(x)=
(
1
2
)x-1，x≥0
x2，x＜0
与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，则当x＞0时，g（x）=
 
．
设函数f(x)=
(
1
2
)x (x≤0)
x
1
2
     (x＞0)
，若f（x0）＞2，则x0的取值范围是（　　）
A、（-1，4）
B、（-1，+∞）
C、（4，+∞）
D、（-∞，-1）∪（4，+∞）
设函数f(x)=
(
1
2
)x-3(x≤0)
x
1
2
(x＞0)
，已知f（a）＞1，则实数a的取值范围是（　　）
设函数f(x)=
(
1
2
)x+1(x＜-1)
-x2+2(-1≤x≤2)
3x-8(x＞2)
．
（Ⅰ）请在下列直角坐标系中画出函数f（x）的图象；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的图象，试分别写出关于x的方程f（x）=t有2，3，4个实数解时，相应的实数t的取值范围；
（Ⅲ）记函数g（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使g（x0）=x0成立，则称点（x0，x0）为函数g（x）图象上的不动点．试问，函数f（x）图象上是否存在不动点，若存在，求出不动点的坐标，若不存在，请说明理由．

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