题目内容
方程
的曲线即为函数
的图象，对于函数
，下列命题中正确的是 .（请写出所有正确命题的序号）
①函数
在
上是单调递减函数； ②函数
的值域是
；
③函数
的图象不经过第一象限； ④函数
的图象关于直线
对称；
⑤函数
至少存在一个零点.
【答案】
①②③
【解析】
试卷分析：对于①，当x≥0且y≥0时，方程为
，此时方程不成立．
当x＜0且y＜0时，方程为
，此时
．
当x≥0且y＜0时，方程为
，此时
．
当x＜0且y≥0时，方程为
，此时
．
因此作出函数的大致图象，如下图所示
由图象可知函数在R上单调递减，所以①成立．
对于②，根据①所作的图象可知函数的值域为R，所以②正确．
对于③，根据①所作的图象可知函数
的图象不经过第一象限，所以③正确；
对于④，根据①所作的图象可知函数
的图象不关于直线
对称；所以④错误；
对于⑤由
得
．因为双曲线和
的渐近线为
，所以函数
与直线至多有一个公共点，因此函数
至多存在一个零点，可得⑤错误．
考点：1.函数的性质及应用；2.圆锥曲线的定义、性质与方程；3.命题的真假判断与应用.
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