Question

设等差数列{a_n}的首项为1，其前n项和为S_n，{b_n}是公比为正整数的等比数列，其首项为3，前n项和为T_n．若a₃+b₃=17，T₃-S₃=12．
（1）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n+

2

3

b_n}的前n项和M_n．

Answer 1

分析：（1）由已知

1+2d+3q2=17 3(1+q+q2)-(3+3d)=12

解方程可求得q，d，然后结合等差数列与等比数列的通项公式
（2）由an+

2

3

bn=2n-1+2ⁿ，然后结合等差数列与等比数列的求和公式进行分组求和即可求解

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q
由已知

1+2d+3q2=17 3(1+q+q2)-(3+3d)=12

解方程可得q=2，d=2
∴a_n=2n-1，bn=3•2 n-1
（2）an+

2

3

bn=2n-1+2ⁿ
∴T_n=1+2¹+3+2²+…+2n-1+2ⁿ
=（1+3+5+…+2n-1）+（2+2²+…+2ⁿ）
=

n(1+2n-1)

2

+

2(1-2n)

1-2

=n²+2ⁿ⁺¹-2

点评：本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式及求和公式的简单应用及分组求和方法的简单应用，属于基础试题