Question

过点P（1，2）引直线，使A（2，3）、B（4，-5）到它的距离相等，则此直线方程为（　　）

A．4x+y-11=0

B．x+4y-6=0

C．4x+y-11=0或3x+2y-7=0

D．4x+y-6=0或3x+2y-7=0

Answer 1

分析：（法一）当所求的直线与AB平行时，斜率可求，用点斜式求出直线方程，当所求的直线过AB的中点时，由两点式求出直线的方程．
（法二）设直线方程为k（x-1）-y+2=0即kx-y+2-k=0，由A（2，3），B（4，-5）到直线的距离相等，可得

|2k-3+2-k|

1+k2

=

|4k+5+2-k|

1+k2

，可求k，进而可求直线方程

解答：解：由题意可得所求的直线与AB平行，或所求的直线过AB的中点．
当所求的直线与AB平行时，斜率为k=

3+5

2-4

=-4，故方程为 y-2=-4（x-1），化简可得4x+y-6=0．
当所求的直线过AB的中点（3，-1）时，由两点式求出直线的方程为

y+1

2+1

=

x-3

1-3

，即 3x+2y-7=0．
（法二）设直线方程为k（x-1）-y+2=0即kx-y+2-k=0
因为A（2，3），B（4，-5）到直线的距离相等，
所以

|2k-3+2-k|

1+k2

=

|4k+5+2-k|

1+k2

||k-1|=|3k+7|
k-1=3k+7 或k-1=-（3k+7）
所以 k=-4 或k=-

3

2

所以所求的直线方程为：y-2=-4（x-1）或y-2=-

3

2

（x-1）
即4x+y-6=0 或3x+2y-7=0
故选D

点评：本题考查用点斜式、两点式求直线方程的方法，体现了分类讨论的数学思想，判断所求的直线与AB平行，或所求的直线过AB的中点，是解题的关键．