题目内容

已知向量
m
=(cosx，-sinx)，
n
=(cosx，sinx-2
3
cosx)，x∈R，令f（x）=
m
•
n
．
（1）当x∈(0，
π
2
)时，求f（x）的值域；
（2）已知f(
α
2
)=
2
3
，求cos(2α-
2
3
π)的值．
分析：（1）由f（x）=
m
•
n
=cos2x-sinx(sinx-2
3
cosx)，利用二倍角公式、辅助角公式对三角函数进行化简，然后结合x∈(0，
π
2
)，及正弦函数的性质可求函数的值域
（2）由已知可得sin（α+
π
6
）=
1
3
，然后由cos（2α-
2π
3
）=cos[2（α+
π
6
）-π]，利用诱导公式及二倍角公式可求
解答：解（1）∵f（x）=
m
•
n
=cos2x-sinx(sinx-2
3
cosx)
=cos2x-sin2x+2
3
sinxcosx
=cos2x+
3
sin2x
∴f(x)=2sin(2x+
π
6
)，
∵x∈(0，
π
2
)，
∴
π
6
＜2x+
π
6
≤
7π
6

∴sin(2x+
π
6
)∈(-
1
2
，1]
∴y=f（x）的值域为（-1，2]；   …（7分）
（2）由f(
α
2
)=
2
3
⇒2sin(α+
π
6
)=
2
3
⇒sin(α+
π
6
)=
1
3

∴cos(2α-
2
3
π)=cos[2(α+
π
6
)-π]=-cos2(α+
π
6
)=-1+2sin2(α+
π
6
)=-
7
9
（14分）．
点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，正弦函数的性质的应用，二倍角公式、辅助角公式的综合应用．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(cos θ，sin θ)和
n
=(
2
-sin θ，cos θ)，θ∈（π，2π），且|
m
+
n
|=
8
2
5
，求sinθ和cos(
θ
2
+
π
8
)的值．
已知向量
m
=(cosα-
2
3
，-1)，
n
=(sinα，1)
m
∥
n
且α∈(-
π
2
，0)
（1）求sinα-cosα的值．
（2）求
1+sin2α+cos2α
1+tanα
的值．
已知向量
m
=(cosωx，sinωx)，
n
=(cosωx，
3
cosωx)，设函数f(x)=
m
•
n
．
（1）若f（x）的最小正周期是2π，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）的图象的一条对称轴是x=
π
6
，（0＜ω＜2），求f（x）的周期和值域．
已知向量
m
=(cosα-
2
3
，-1)，
n
=(sinα，1)，
m
与
n
为共线向量，且α∈[-π，0]．
（Ⅰ）求sinα+cosα的值
（Ⅱ）求
sin2α
sinα-cosα
的值．
已知向量
m
=(cosθ，sinθ)，
n
=(1-
3
sinθ，
3
cosθ)，θ∈（0，π），若|
m
+
n
|=2
2
，求cos(
θ
2
+
π
6
)的值．

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