Question

为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元（m≥0）满足x=3-

k

m+1

（k为常数）．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将2010年该产品的利润y万元（利润=销售金额-生产成本-技术改革费用）表示为技术改革费用m万元的函数；
（2）该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

Answer 1

分析：（1）首先根据题意令m=0代入x=3-

k

m+1

求出常量k，这样就得出了x与m的关系式，然后根据2010年固定收入加再投入资金求出总成本为8+16x，再除以2010的件数就可以得出2010年每件的成本，而每件的销售价格是成本的1.5倍，从而得出了每件产品的销售价格为1.5×

8+16x

x

（元），然后用每件的销售单价×销售数量得到总销售额为x•（1.5×

8+16x

x

）．最后利用利润=销售金额-生产成本-技术改革费用得出利润y的关系式．
（2）根据a+b≥2

ab

当且仅当a=b时取等号的方法求出y的最大值时m的取值即可．

解答：解：（1）由题意可知，当m=0时，x=1（万件）∴1=3-k，∴k=2，∴x=3-

2

m+1

每件产品的销售价格为1.5×

8+16x

x

（元），
∴2010年的利润y=x•[1.5×

8+16x

x

]-(8+16x)-m=-[

16

m+1

+(m+1)]+29(元)(m≥0)

（2）∵m≥0，∴

16

m+1

+(m+1)≥2

16

=8，
∴y≤29-8=21．
当

16

m+1

=m+1，即m=3，y_max=21．
∴该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大．

点评：本题主要考查学生根据实际问题列出函数解析式的能力，以及求函数最值的问题．