Question

设0＜a＜b＜1，P=log

1

2

a+b

2

，Q=

1

2

(log

1

2

a+log

1

2

b)，M=

1

2

log

1

2

(a+b)，则P，Q，M从小到大顺序为

M＜P＜Q

．

Answer 1

分析：由已知可得：Q=

1

2

log

1

2

(ab)=log

1

2

ab

，M=log

1

2

a+b

，P=log

1

2

a+b

2

．只要比较

ab

、

a+b

、

a+b

2

的大小，再利用函数y=log

1

2

x在（0，+∞）上的单调性即可得出．

解答：解：由已知可得：Q=

1

2

log

1

2

(ab)=log

1

2

ab

，M=log

1

2

a+b

，P=log

1

2

a+b

2

．
∵0＜a＜b＜1，
∴0＜

a+b

＜

2

＜2，
∴a+b＜2

a+b

，
∴

a+b

2

＜

a+b

，
又

a+b

2

＞

ab

，
∴

a+b

＞

a+b

2

＞

ab

，
∵函数y=log

1

2

x在（0，+∞）上的单调递减，
∴log

1

2

a+b

＜log

1

2

a+b

2

＜log

1

2

a b

，
∴M＜P＜Q．
故答案为M＜P＜Q．

点评：本题考查了基本不等式的性质、对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．