题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对一切正整数n都有 $数学公式$ ．
（I）求证：a_n+1+a_n=4n+2；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）是否存在实数a，使不等式 $数学公式$ 对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：（I）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．
（II）在 $\text{[math]}$ 中，
令n=1，得a₁=2，代入（I）得a₂=4．
∵a_n+1+a_n=4n+2，∴a_n+2+a_n+1=4n+6，
两式相减，得：a_n+2-a_n=4，
∴数列{a_n}的偶数项a₂，a₄，a₆，…，a₂₆，…依次构成一个等差数列，
且公差为d=4，
∴当n为偶数时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
当n为奇数时，n+1为偶数，由上式及（I）知：
a_n=4n+2-a_n+1=4n+2-2（n+1）=2n，
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=2n．
（III） $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
等价于 $\text{[math]}$ ，
令f（n）= $\text{[math]}$ ，
则由（II）知f（n）＞0，
∴ $\text{[math]}$
═ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
∴f（n+1）＜f（n），即f（n）的值随n的增大而减小，
∴n∈N^*时，f（n）的最大值为 $\text{[math]}$ ，若存在实数a，符合题意，
则必有： $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
它等价于 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ，
因此，存在实数a，符合题意，
其取值范围为 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，由此能够导出 $\text{[math]}$ ．
（II）在 $\text{[math]}$ 中，令n=1，得a₁=2，代入（I）得a₂=4．由a_n+1+a_n=4n+2，知a_n+2+a_n+1=4n+6，故a_n+2-a_n=4，由此能导出数列{a_n}的通项公式是a_n=2n．
（III） $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ 等价于 $\text{[math]}$ ，令f（n）= $\text{[math]}$ ，则f（n）＞0，由此能够导出存在实数a，符合题意，并能求出其取值范围．
点评：本题考查数列和不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．