题目内容

已知函数 $数学公式$ ，函数f（x）是函数g（x）的导函数．
（1）若a=1，求g（x）的单调减区间；
（2）若对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有 $数学公式$ ，求实数a的取值范围；
（3）在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意x∈[M，0]时|f（x）|≤4恒成立，求M的最小值及相应的a值．

解：（1）当a=1时，g（x）= $\text{[math]}$ x³+2x²-2x，g′（x）=x²+4x-2 …（1分）
由g′（x）＜0解得-2- $\text{[math]}$ ＜x＜-2+ $\text{[math]}$ …（2分）
∴当a=1时函数g（x）的单调减区间为（-2- $\text{[math]}$ ，2+ $\text{[math]}$ ）；…（3分）
（2）易知f（x）=g′（x）=x²+4x-2
依题意知 $\text{[math]}$ =a（ $\text{[math]}$ ）²+4× $\text{[math]}$ -2- $\text{[math]}$
=- $\text{[math]}$ （x₁-x₂）²＜0 …（5分）
因为x₁≠x₂，所以a＞0，即实数a的取值范围是（0，+∞）；…（6分）
（3）易知f（x）=ax²+4x-2=a（x+ $\text{[math]}$ ）²-2- $\text{[math]}$ ，a＞0．
显然f（0）=-2，由（2）知抛物线的对称轴x=- $\text{[math]}$ ＜0 …（7分）
①当-2- $\text{[math]}$ ＜-4即0＜a＜2时，M∈（- $\text{[math]}$ ，0）且f（M）=-4
令ax²+4x-2=-4解得 x= $\text{[math]}$ …（8分）
此时M取较大的根，即M= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（9分）
∵0＜a＜2，∴M= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞-1 …（10分）
②当-2- $\text{[math]}$ ≥-4即a≥2时，M＜- $\text{[math]}$ 且f（M）=4
令ax²+4x-2=4解得 x= $\text{[math]}$ …（11分）
此时M取较小的根，即 M= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（12分）
∵a≥2，∴M= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≥-3当且仅当a=2时取等号 …（13分）
由于-3＜-1，所以当a=2时，M取得最小值-3 …（14分）
分析：（1）求导数，利用导数小于0，可得函数的单调减区间．
（2）先 $\text{[math]}$ 用函数f（x）的表达式表示出来，再进行化简得- $\text{[math]}$ （x₁-x₂）²＜0，由此式即可求得实数a的取值范围；
（3）本小题可以从a的范围入手，考虑0＜a＜2与a≥2两种情况，结合二次的象与性质，综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．