Question

已知（

3

x2

+3x²）ⁿ展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992．求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析：由题意可得4ⁿ-2ⁿ=992，求得n=5，设第r+1项的系数最大，则有

C r 5 •3r ≥C r-1 5 •3r-1 C r 5 •3r ≥C r+1 5 •3r+1

，解得

7

2

≤r≤

9

2

．再由 r∈N，可得r的值．

解答：解：令x=1可得各项系数和为4ⁿ，二项式系数和为2ⁿ，
由题意可得4ⁿ-2ⁿ=992，即（2ⁿ-32）（2ⁿ+31）=0，
解得2ⁿ=32 2ⁿ=-31 （舍去），解得n=5．
设第r+1项的系数最大，则有

C r 5 •3r ≥C r-1 5 •3r-1 C r 5 •3r ≥C r+1 5 •3r+1

，解得

7

2

≤r≤

9

2

．
再由 r∈N，可得r=4．
故系数最大的项为 T₅=

C

4 5

•x

2

3

•（3x²）⁴=405x

26

3

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．