Question

函数f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的最大值为3，它的图象相邻的两个对称轴之间的距离为2，图象在y轴交点的坐标为（0，2），
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设数列a_n=f（n）（n∈N^*），S_n是它的前n项和，求S₁₀₀．

Answer 1

分析：（1）先将原函数用降幂公式转化为一个角的一个三角函数的形式，由相邻两对称轴间的距离为2可知周期求得ω，由最大值为3，求得A，又由图象经过点（0，2），求得φ，进而得f（x）解析式．
（2）求出数列的前几项，判断数列是周期数列，求出一个周期的和．然后求解S₁₀₀．

解答：解：（1）将原函数f（x）=Acos²（ωx+φ）+1转化为：f（x）=

A

2

cos（2ωx+2φ）+

A

2

+1
相邻两对称轴间的距离为2可知函数的周期为：4，则2ω=

2π

4

=

π

2

，ω=

π

4

由最大值为3，可知A=2
又∵图象经过点（0，2），
∴cos2φ=0
∴2φ=kπ+

π

2

，0＜φ＜

π

2

，φ=

π

4

，
∴f（x）=cos（

π

2

x+

π

2

）+2=-sin

π

2

x+2．
（2）∵f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，f（4）=2，f（5）=1…所以数列{a_n}是周期数列，T=4，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=8，
S₁₀₀=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=8×25=200．

点评：本题主要考查了降幂公式和三角函数中各参数的意义，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，数列的求和，考查分析问题解决问题的能力．