Question

已知(1＋x)ⁿ＝a₀＋a₁(x－1)＋a₂(x－1)²＋…＋a_n(x－1)ⁿ(n∈N^*)．
(1)求a₀及S_n＝a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n；
(2)试比较S_n与(n－2)2ⁿ＋2n²的大小，并说明理由．

Answer 1

（1）a₀＝2ⁿ   S_n＝3ⁿ－2ⁿ.（2）当n＝1时，S_n＞(n－2)2ⁿ＋2n²；当n＝2,3时，S_n＜(n－2)2ⁿ＋2n²；当n≥4，n∈N^*时，S_n＞(n－2)2ⁿ＋2n².

(1)取x＝1，则a₀＝2ⁿ；
取x＝2，则a₀＋a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n＝3ⁿ，
所以S_n＝a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n＝3ⁿ－2ⁿ.
(2)要比较S_n与(n－2)2ⁿ＋2n²的大小，
即比较：3ⁿ与(n－1)2ⁿ＋2n²的大小．
当n＝1时，3ⁿ＞(n－1)2ⁿ＋2n²；
当n＝2,3时，3ⁿ＜(n－1)2ⁿ＋2n²；
当n＝4,5时，3ⁿ＞(n－1)2ⁿ＋2n².
猜想：当n≥4时，3ⁿ＞(n－1)2ⁿ＋2n²，
下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，n＝4时结论成立．
假设当n＝k(k≥4)时结论成立，即3^k＞(k－1)2^k＋2k²，
两边同乘以3，得3^k＋1＞3[(k－1)2^k＋2k²]＝k2^k＋1＋2(k＋1)²＋[(k－3)2^k＋4k²－4k－2]．
而(k－3)2^k＋4k²－4k－2＝(k－3)2^k＋4(k²－k－2)＋6＝(k－3)2^k＋4(k－2)(k＋1)＋6＞0.
所以3^k＋1＞[(k＋1)－1]2^k＋1＋2(k＋1)².
即n＝k＋1时结论也成立．
所以当n≥4时，3ⁿ＞(n－1)2ⁿ＋2n²成立．
综上得，
当n＝1时，S_n＞(n－2)2ⁿ＋2n²；当n＝2,3时，S_n＜(n－2)2ⁿ＋2n²；
当n≥4，n∈N^*时，S_n＞(n－2)2ⁿ＋2n².