Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（m+1）x²﹣x（m≠﹣1）．
（I）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线，求实数m的值和P的坐标；
（II）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点M、N，求实数m的取值范围；
（III）在（II）的条件下，过线段MN的中点作x轴的垂线分别与f（x）的图象和g（x）的图象交于S、T点，以S点为切点作f（x）的切线l₁，以T为切点作g（x）的切线l₂，是否存在实数m，使得l₁l₂？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）设函数y=f（x）与y=g（x）图象的公共点为P（x₀，y₀），
则有lnx₀=（m+1）x₀²﹣x₀①，
又在点P处有共同的切线，
∴，②
②代入①，得．
设．
所以，函数h（x）最多只有1个零点，观察得x₀=1是零点，
故m=0．
此时，点P（1，0）；
（II）根据（I）知，当m=0时，两条曲线切于点P（1，0），
此时，变化的y=g（x）的图象的对称轴是x=，
而y=f（x）是固定不变的，如果继续让对称轴向右移动，即，
解得﹣1＜m＜0．
两条曲线有两个不同的交点，
当m＜﹣1时，开口向下，只有一个交点，显然不合题意，所以，有﹣1＜m＜0；
（III）假设存在这样的m，不妨设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞_x2，
则MN中点的坐标为．
以S为切线的切线l₁的斜率，
以T为切点的切线l₂的斜率．
如果存在m，使得k_s=k_T，即．③
而且有lnx₁=（m+1）x₁²﹣x₁和lnx₂=（m+1）x₂²﹣x₂．
如果将③的两边同乘以x₁﹣x₂，得
④，
即，
也就是．
设μ=，则有．
令（μ＞1），
则．
∵μ＞1，
∴h'（μ）＞0．因此，h（μ）在[1，+∞]上单调递增，
故h（μ）＞h（1）=0．
∴⑤
∴④与⑤矛盾．
所以，不存在实数m使得l₁l₂．