Question

给出下列四个命题：
①设x₁，x₂∈R，则x₁＞1且x₂＞1的充要条件是x₁+x₂＞2且x₁x₂＞1；
②任意的锐角三角形ABC中，有sinA＞cosB成立；
③平面上n个圆最多将平面分成2n²-4n+4个部分；
④空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角．
其中真命题的序号是

 

（要求写出所有真命题的序号）．

Answer 1

分析：由实数的性质及不等式的性质，我们易判断①的对错；根据诱导公式及正弦函数的单调性及锐角三角形的定义，我们可判断②的真假；利用递推法我们易求出平面上n个圆将平面分成的最多份数，进而得到③的正误；利用正投影的定义，我们易判断④的真假，进而得到答案．

解答：解：若x₁＞1且x₂＞1，则x₁+x₂＞2且x₁x₂＞1成立，但x₁+x₂＞2且x₁x₂＞1时，x₁＞1且x₂＞1不一定成立，故x₁＞1且x₂＞1的必要不充分条件是x₁+x₂＞2且x₁x₂＞1，故①错误；
在锐角三角形中A+B＞

π

2

，∴A＞

π

2

-B，故sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，故②正确；
平面上n个圆最多将平面分成n²-n+2部分，故③错误；
间中直角在一个平面上的正投影可以是锐角，也可能是直角，也可以是钝角，故④正确；
故答案为：②④

点评：本题考查的知识点是平行投影、充要条件的判断、正弦函数的单调性、数列的递推公式，熟练掌握这些基本知识点是解答本题的关键．