题目内容
已知函数f(x)=2sinωx•cosωx+2
cos2ωx-
-1（其中ω＞0），x1、x2是函数y=f（x）的两个不同的零点，且|x1-x2|的最小值为
．
（1）求ω的值；
（2）若f(a)=
，求sin(
-4a)的值．
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
（1）求ω的值；
（2）若f(a)=
| 2 |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
分析：（1）利用两角和与差的正弦可将f（x）化简为f（x）=2sin（2ωx+
）-1，由f（x）=0可求得sin（2ωx+
）=
，依题意可求得|x1-x2|min=
=
，从而可求得ω的值；
（2）由f（α）=
，得sin（2α+
）=
，利用诱导公式与二倍角的余弦公式可求得sin（
-4α）的值．
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3ω |
| π |
| 3 |
（2）由f（α）=
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5 |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
解答：解：（1）f（x）=sin2ωx+
cos2ωx-1=2sin（2ωx+
）-1，
由f（x）=0得：2sin（2ωx+
）-1=0，
∴sin（2ωx+
）=
，
∵x1、x2是函数y=f（x）的两个不同的零点，
∴2ωx1+
=
+2kπ或2ωx2+
=
+2kπ（k∈Z），
∴2ω|x1-x2|=2kπ或2ω|x1-x2|=2kπ+
，
∴|x1-x2|min=
=
，
∴ω=1．
（2）f（x）=2sin（2x+
）-1，
由f（a）=
，得2sin（2a+
）-1=
，
∴sin（2α+
）=
，
∴sin（
-4α）
=-cos[
-（
-4α）]
=-cos2（2α+
）
=2sin2(2α+
)-1
=2×
-1
=
．
| 3 |
| π |
| 3 |
由f（x）=0得：2sin（2ωx+
| π |
| 3 |
∴sin（2ωx+
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∵x1、x2是函数y=f（x）的两个不同的零点，
∴2ωx1+
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
∴2ω|x1-x2|=2kπ或2ω|x1-x2|=2kπ+
| 2π |
| 3 |
∴|x1-x2|min=
| π |
| 3ω |
| π |
| 3 |
∴ω=1．
（2）f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
由f（a）=
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴sin（2α+
| π |
| 3 |
| 5 |
| 6 |
∴sin（
| 5π |
| 6 |
=-cos[
| 3π |
| 2 |
| 5π |
| 6 |
=-cos2（2α+
| π |
| 3 |
=2sin2(2α+
| π |
| 3 |
=2×
| 25 |
| 36 |
=
| 7 |
| 18 |
点评：本题考查两角和与差的正弦，着重考查函数的零点的理解与应用，突出考查三角函数的化简求值，属于中档题．
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