题目内容
如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=| 3 |
（1）求证：CD⊥平面ADS；
（2）求二面角A-SB-D的余弦值．
（3）求点A到面SBC的距离．
分析：（1）要证CD⊥平面ADS，只需证明直线CD垂直平面ADS内的两条相交直线AD、SD即可；
（2）过A作AE⊥DB于E 又过A作AF⊥SB于F，连接EF，可得∠AFB为二面角A-SB-D的平面角，解三角形可求二面角A-SB-D的余弦值；
（3）根据AD∥BC，可得点A到面SBC的距离等于点D到面SBC的距离，从而可得结论．
（2）过A作AE⊥DB于E 又过A作AF⊥SB于F，连接EF，可得∠AFB为二面角A-SB-D的平面角，解三角形可求二面角A-SB-D的余弦值；
（3）根据AD∥BC，可得点A到面SBC的距离等于点D到面SBC的距离，从而可得结论．
解答：（1）证明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD
又SD⊥AB，AB∥CD，则CD⊥SD
又∵AD∩SD=D
∴CD⊥平面ADS
（2）解：∵△SAD中SD⊥AD，且SD⊥AB，AB∩AD=A
∴SD⊥面ABCD．
∴平面SDB⊥平面ABCD，BD为面SDB与面ABCD的交线．
过A作AE⊥DB于E，则AE⊥平面SDB，过A作AF⊥SB于F，连接EF，从而得：EF⊥SB
∴∠AFB为二面角A-SB-D的平面角
在矩形ABCD中，对角线BD=
∴在△ABD中，AE=
=
Rt△SDC中，SC=
，Rt△SBC，SB=
而Rt△SAD中，SA=2，且AB=2，∴SB2=SA2+AB2，
∴△SAB为等腰直角三角形且∠SAB为直角，
∴AF=
AB=2
∴sin∠AFE=
=
∴所求的二面角的余弦值为
；
（3）解：∵AD∥BC，∴点A到面SBC的距离等于点D到面SBC的距离
∵SD⊥面ABCD，BC?面ABCD，∴SD⊥BC
∵BC⊥CD，SD∩CD=D，∴BC⊥平面SDC
∴平面SBC⊥平面SDC
过D作DM⊥SC，垂足为M，则DM⊥平面SBC，即DM为点D到面SBC的距离
在△SDC中，SD=
，CD=2，∴SC=
，
∴DM=
=
．
又SD⊥AB，AB∥CD，则CD⊥SD
又∵AD∩SD=D
∴CD⊥平面ADS
（2）解：∵△SAD中SD⊥AD，且SD⊥AB，AB∩AD=A
∴SD⊥面ABCD．
∴平面SDB⊥平面ABCD，BD为面SDB与面ABCD的交线．
过A作AE⊥DB于E，则AE⊥平面SDB，过A作AF⊥SB于F，连接EF，从而得：EF⊥SB
∴∠AFB为二面角A-SB-D的平面角
在矩形ABCD中，对角线BD=
| 5 |
∴在△ABD中，AE=
| AB•CD |
| BD |
2
| ||
| 5 |
Rt△SDC中，SC=
| 7 |
| 8 |
而Rt△SAD中，SA=2，且AB=2，∴SB2=SA2+AB2，
∴△SAB为等腰直角三角形且∠SAB为直角，
∴AF=
| ||
| 2 |
∴sin∠AFE=
| AE |
| AF |
| ||
| 5 |
∴所求的二面角的余弦值为
| ||
| 5 |
（3）解：∵AD∥BC，∴点A到面SBC的距离等于点D到面SBC的距离
∵SD⊥面ABCD，BC?面ABCD，∴SD⊥BC
∵BC⊥CD，SD∩CD=D，∴BC⊥平面SDC
∴平面SBC⊥平面SDC
过D作DM⊥SC，垂足为M，则DM⊥平面SBC，即DM为点D到面SBC的距离
在△SDC中，SD=
| 3 |
| 7 |
∴DM=
| SD×DC |
| SC |
2
| ||
| 7 |
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查点面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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