题目内容

如图，四面体ABCD中，△ABD和△BCD均为等边三角形，BD=2，O是BD的中点，且AO⊥平面BCD．
（1）求二面角A-BC-D的大小（结果用反三角函数表示）；
（2）求点O到平面ACD的距离．

解：

（1）因为△ABD和△BCD都是等边三角形，O是BD中点，所以AO⊥BD，CO⊥BD，以O为原点，OB、OC、OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．…（1分）
则O（0，0，0）， $\text{[math]}$ ，B（1，0，0）， $\text{[math]}$ ，D（-1，0，0），…（2分）
因为AO⊥平面BCD，所以平面BCD的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，…（3分） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
设平面ABC的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，令z=1，得 $\text{[math]}$ ，y=1，所以 $\text{[math]}$ ，…（5分）
设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为θ，则 $\text{[math]}$ ，…（6分）
由图形可知，二面角A-BC-D为锐角，
所以二面角A-BC-D的大小为 $\text{[math]}$ ．…（7分）
（2）设平面ACD的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…（8分）
所以，由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，则v=1，w=1，
故 $\text{[math]}$ ，…（10分）
因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…（12分）
所以点O到平面ACD的距离为 $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：（1）以O为原点，OB、OC、OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD，面ABC的一个法向量，利用两个发向量夹角求解．
（2）求出平面ACD的一个法向量 $\text{[math]}$ ，点O到平面ACD的距离为 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上投影的绝对值．
点评：本题考查二面角、空间距离大小计算．考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．