题目内容

若方程2a•9^sinx+4a•3^sinx+a-8=0有解，则a的取值范围是________．

$\text{[math]}$
分析：令3^sinx=t，则由sinx∈[-1，1]，得t $\text{[math]}$ ，原方程化为关于t的一元二次方程，在区间 $\text{[math]}$ 上有解．然后将方程变形为 $\text{[math]}$ ，讨论右边的函数在区间 $\text{[math]}$ 上的值域，可得出a的取值范围．
解答：令3^sinx=t，则由sinx∈[-1，1]，得t $\text{[math]}$
原方程变成：2at²+4at+a-8=0，在区间 $\text{[math]}$ 上面有解
移项，解出a，得 $\text{[math]}$
因为2t²+4t+1=2（t+1）²-1，t $\text{[math]}$
所以2t²+4t+1 $\text{[math]}$
因此， $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查了指数型方程的解的知识点，属于中档题．变量分离，通过讨论函数的值域，是求解本题的关键．