Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{9n}{2}$．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₁=5，{b_n}前8项和为124
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II）设c_n=$\frac{3}{（2{a}_{n}-9）（2{b}_{n}-1）}$，求数列{c_n}的前n项和T_n，并证明T_n≥$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n=S_n-S_n-1，n≥2且当n=1时，a₁=S₁，可得{a_n}的通项公式，由等差数列的求和公式，可得公差，进而得到{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）运用裂项相消求和，即有c_n=$\frac{3}{（2{a}_{n}-9）（2{b}_{n}-1）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），求得前n项和T_n，由单调性即可得证．

解答 解：（Ⅰ）S_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{9n}{2}$．①
∴S_n-1=$\frac{1}{2}$（n-1）²+$\frac{9}{2}$（n-1）（n≥2）②
∴①-②得a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（2n-1）+$\frac{9}{2}$=n+4，
且当n=1时，a₁=S₁=5，
a_n=n+4（n∈N^*），
由已知b_n+2-2b_n+1+b_n=0，即有b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，
∴数列{b_n}为等差数列，令其公差为d，
又b₁=5，
由{b_n}前8项和为124，
则40+28d=124∴d=3，
∴b_n=3n+2；                                        
（Ⅱ）证明：∴c_n=$\frac{3}{（2{a}_{n}-9）（2{b}_{n}-1）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
函数f（x）=$\frac{1}{2x+1}$为（0，+∞）的单调递减函数，
∴T_n为单调递增，T_n≥T₁=$\frac{1}{3}$，
∴T_n≥$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查等差数列的定义和通项、求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．