Question

设{a_n}是公差大于零的等差数列，已知a₁=2，a₃=a₂-10．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_n}是以函数y=4sin²（πx+

1

2

）-1的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{a_n-b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）题目给出了等差数列的首项，给出了a₃=a₂-10可求公差，则通项公式可求；
（Ⅱ）把给出的三角函数式化简后可求其周期，则等比数列的通项公式可求，求数列{a_n-b_n}的前n项和S_n，可先分组，然后运用等差和等比数列的前n项和分别求和，最后合并在一起即可．

解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，则由a₁=2，d=a₃-a₂=-10，
所以a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×（-10）=-10n+12；
（Ⅱ）因为y=4sin²（πx+

1

2

）-1=4×

1-cos(2πx+1)

2

-1=-2cos(2πx+1)+1，
其最小正周期为

2π

2π

=1，故数列{b_n}的首项为1，又其公比为3，
所以bn=3n-1，
所以an-bn=-10n+12-3n-1，
故Sn=-10(1+2+3+…+n)-(30+31+32+…+3n-1)+12n=-10×

n(n+1)

2

-

1×(1-3n)

1-3

+12n=-

3n

2

-5n2+7n+

1

2

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，数列的求和及三角函数周期性的求法，解答此题的关键是进行分组，此题考查了学生的计算能力，此题是中档题．