Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}中，b₁=a₁，b_n=a_n-a_n-1（n≥2），若a_n+S_n=n．
（1）设c_n=a_n-1，求证：数列{c_n}是等比数列；
（2）求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）先根据a_n+S_n=n求出a₁的值，再由a_n+1+S_n+1=n+1和a_n+S_n=n两式相减可得到2（a_n+1-1）=a_n-1，即

an+1-1

an-1

=

1

2

，再由c_n=a_n-1可得到数列{c_n}是等比数列，得证．
（2）先根据数列{c_n}是等比数列求出数列{c_n}的通项公式，进而可得到数列{a_n}的通项公式，然后由b_n=a_n-a_n-1可得到b_n的通项公式．

解答：（1）证明：∵a₁=S₁，a_n+S_n=n，∴a₁+S₁=1，得a₁=

1

2

．
又a_n+1+S_n+1=n+1，两式相减得2（a_n+1-1）=a_n-1，即

an+1-1

an-1

=

1

2

，
也即

cn+1

cn

=

1

2

，故数列{c_n}是等比数列．
（2）解：∵c₁=a₁-1=-

1

2

，
∴c_n=-

1

2n

，a_n=c_n+1=1-

1

2n

，a_n-1=1-

1

2n-1

．
故当n≥2时，b_n=a_n-a_n-1=

1

2n-1

-

1

2n

=

1

2n

．
又b₁=a₁=

1

2

，即b_n=

1

2n

（n∈N^*）．

点评：本题主要考查等比数列的证明和求数列的通项公式，考查基础知识的综合运用．