题目内容
16.已知数列{an},a1≠0,2an=a1(1+Sn)(n∈N*),Sn为数列{an}的前n项和.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an;
(Ⅱ)设bn=$\frac{n}{a_n}$,求数列{bn}的前n项和Tn.
分析 (1)利用递推式与等比数列的通项公式即可得出;
(2)由(1)得bn=$\frac{n}{a_n}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$,利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出.
解答 解:(1)∵a1≠0,2an=a1(1+Sn)(n∈N*),
当n=1时,2a1=a1(1+a1),解得a1=1,
当n>1时,则2an=1+Sn,
∴2an-2an-1=(1+Sn)-(1+Sn-1)=an,
∴an=2an-1,
∴数列{an}是等比数列,首项为1,公比为2,
∴an=2n-1;
(2)由(1)得bn=$\frac{n}{a_n}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$,
∴Tn=1+$\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-2}}$+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$,①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$,②
①-②得:$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$,
∴Tn=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$.
点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式、递推式的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
A. | (2,4] | B. | [2,4] | C. | [2,4) | D. | (2,4) |
A. | 7 | B. | $\sqrt{34}$ | C. | 4 | D. | 8 |
A. | [-1,$\frac{1}{2}$] | B. | [-1,2] | C. | [$\frac{1}{2}$,2] | D. | [-1,$\frac{1}{2}$]∪[2,+∞) |