题目内容

已知定点A（-2，0），动点B是圆F：（x-2）²+y²=64（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P；
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）直线 $数学公式$ 交于M，N两点，试问在曲线E位于第二象限部分上是否存在一点C，使 $数学公式$ 共线（O为坐标原点）？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意|PA|=|PB|，且|PB|+|PF|=8，
∴|PA|+|PF|=8＞|AF|．
因此点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆、（4分）
设所求椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ，
∴2a=8，a=4，a²-b²=c²=2²=4∴b²=12
∴点P的轨迹方程为 $\text{[math]}$ ．（6分）
（2）假设存在满足题意的点C（x₀，y₀）（x₀＜0，y₀＞0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）， $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ ．（8分）
∴ $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$ ．（10分）
又 $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$ ．又∵x₀＜0，y₀＞0∴ $\text{[math]}$
所以存在满足题意的点C（ $\text{[math]}$ ）（14分）
分析：（1）利用椭圆的定义判断点P的轨迹是以A、F 为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程．
（2）先假设存在一点C并设出坐标，以及设出M，N的坐标，根据向量共线得出 $\text{[math]}$ ，然后联立直线方程和椭圆方程，得出x1+x2，y1+y2，进而得出 $\text{[math]}$ ，求出m的值，即可求出C的坐标．
点评：本题考查了椭圆的定义以及直线与圆锥曲线问题，（1）问的关键是灵活掌握椭圆的定义．属于难题．