题目内容
记函数fn(x)=a•xn-1(a∈R，n∈N*)的导函数为
(x)，已知
(2)=12．
（Ⅰ）求a的值．
（Ⅱ）设函数gn(x)=fn(x)-n2Inx，试问：是否存在正整数n使得函数gn（x）有且只有一个零点？若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）若实数x0和m（m＞0，且m≠1）满足：
=
，试比较x0与m的大小，并加以证明．
| f | ′ n |
| f | ′ 3 |
（Ⅰ）求a的值．
（Ⅱ）设函数gn(x)=fn(x)-n2Inx，试问：是否存在正整数n使得函数gn（x）有且只有一个零点？若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）若实数x0和m（m＞0，且m≠1）满足：
| ||
|
| fn(m) |
| fn+1(m) |
分析：（Ⅰ）直接由
(2)=12列式求a的值；
（Ⅱ）求出函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，由导函数的符号判断原函数的单调性，求出原函数的最值，根据最值分析函数的零点个数；
（Ⅲ）求出fn′(x)=n•xn-1，代入
=
，解出x0，把x0与m作差后构造辅助函数，求出辅助函数的导函数，由辅助函数的单调性即可证明x0与m的差与0的大小关系，则结论得到证明．
| f | ′ 3 |
（Ⅱ）求出函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，由导函数的符号判断原函数的单调性，求出原函数的最值，根据最值分析函数的零点个数；
（Ⅲ）求出fn′(x)=n•xn-1，代入
| ||
|
| fn(m) |
| fn+1(m) |
解答：解：（Ⅰ）f3′(x)=3ax2，由f3′(2)=12，得a=1；
（Ⅱ）gn(x)=xn-n2lnx-1，gn′(x)=n•xn-1-
=
，
∵x＞0，令gn′(x)=0，得x=
．
当x＞
时，gn′(x)＞0，gn（x）是增函数；
当0＜x＜
时，gn′(x)＜0，gn（x）是减函数；
所以当x=
时，gn（x）有极小值，也是最小值，gn(
)=n-nlnn-1．
当x→0时，gn（x）→+∞；
当x→+∞时，（可取x=e，e2，e3，…体验），gn（x）→+∞．
当n≥3时，gn(
)=n(1-lnn)-1＜0，函数gn（x）有两个零点；
当n=2时，gn(
)=-2ln2+1＜0，函数gn（x）有两个零点；
当n=1时，gn(
)=0，函数gn（x）只有一个零点；
综上所述，存在n=1使得函数gn（x）有且只有一个零点．
（Ⅲ）fn′(x)=n•xn-1，
∵
=
，∴
=
．
解得x0=
，
则x0-m=
，
当m＞1时，（n+1）（mn-1）＞0，设h（x）=-xn+1+x（n+1）-n（x≥1），
则h′（x）=-（n+1）xn+n+1=-（n+1）（xn-1）≤0（当且仅当x=1时取等号），
所以h（x）在[1，+∞）上是减函数，
又因为m＞1，所以h（m）＜h（1）=0，所以x0-m＜0，所以x0＜m．
当0＜m＜1时，（n+1）（mn-1）＜0，设h（x）=-xn+1+x（n+1）-n（0＜x≤1），
则h′（x）=-（n+1）xn+n+1=-（n+1）（xn-1）≥0（当且仅当x=1时取等号），
所以h（x）在（0，1]上是增函数，又因为0＜m＜1，所以h（m）＜h（1）=0，所以x0-m＞0，
所以x0＞m．
综上所述，当m＞1，x0＜m．当0＜m＜1时，x0＞m．
（Ⅱ）gn(x)=xn-n2lnx-1，gn′(x)=n•xn-1-
| n2 |
| x |
| n(xn-n) |
| x |
∵x＞0，令gn′(x)=0，得x=
| n | n |
当x＞
| n | n |
当0＜x＜
| n | n |
所以当x=
| n | n |
| n | n |
当x→0时，gn（x）→+∞；
当x→+∞时，（可取x=e，e2，e3，…体验），gn（x）→+∞．
当n≥3时，gn(
| n | n |
当n=2时，gn(
| n | n |
当n=1时，gn(
| n | n |
综上所述，存在n=1使得函数gn（x）有且只有一个零点．
（Ⅲ）fn′(x)=n•xn-1，
∵
| fn′(x0) |
| fn-1′(x0) |
| fn(m) |
| fn-1(m) |
| nx0n-1 |
| (n+1)x0n |
| mn-1 |
| mn+1-1 |
解得x0=
| n(mn+1-1) |
| (n+1)(mn-1) |
则x0-m=
| -mn+1+m(n+1)-n |
| (n+1)(mn-1) |
当m＞1时，（n+1）（mn-1）＞0，设h（x）=-xn+1+x（n+1）-n（x≥1），
则h′（x）=-（n+1）xn+n+1=-（n+1）（xn-1）≤0（当且仅当x=1时取等号），
所以h（x）在[1，+∞）上是减函数，
又因为m＞1，所以h（m）＜h（1）=0，所以x0-m＜0，所以x0＜m．
当0＜m＜1时，（n+1）（mn-1）＜0，设h（x）=-xn+1+x（n+1）-n（0＜x≤1），
则h′（x）=-（n+1）xn+n+1=-（n+1）（xn-1）≥0（当且仅当x=1时取等号），
所以h（x）在（0，1]上是增函数，又因为0＜m＜1，所以h（m）＜h（1）=0，所以x0-m＞0，
所以x0＞m．
综上所述，当m＞1，x0＜m．当0＜m＜1时，x0＞m．
点评：本题考查了导数在最大值最小值中的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了构造函数法进行不等式的大小比较，是有一定难度题目．
练习册系列答案
相关题目
，且满足
，a，x1，x2为常数,x1≠x2．
，x∈（0，e]，若F(x)的最小值为6，求实数b的值；
，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)是函数g(x)图象上两点，若
，试判断x0，x1，x2的大小，并加以证明．