Question

14、在等比数列{a_n}中，a₁=2，前n项和为S_n，若数列{a_n+λ}（λ≠0）也是等比数列，则S_n等于

2n

．

Answer 1

分析：根据等比数列的性质导出a_n+1²=a_n•a_n+2，（a_n+1+λ）²=（a_n+λ）（a_n+2+λ），联立方程组求出等比数列的公比q，再由a₁=2，求出a_n，由此可求出S_n．

解答：解：∵数列{a_n}是等比数列，
∴a_n+1²=a_n•a_n+2，
∵数列{a_n+λ}也是等比数列，
∴（a_n+1+λ）²=（a_n+λ）（a_n+2+λ），而λ≠0，
∴a_n+a_n+2=2a_n+1，∴a_n+a_n•q²=2a_nq，
∴1+q²=2q，q=1，
∵a₁=2，q=1，∴a_n=2，
∴S_n=2n．
故答案：2n．

点评：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力与推理能力．是中档题．