题目内容
18.已知函数f(x)=1+2x,g(x)=$\frac{1}{{2}^{\left|x\right|}}$+3.(1)求函数g(x)的值域;
(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.
分析 (1)由|x|≥0可得2|x|≥1,从而求得函数g(x)的值域;
(2)把函数解析式代入f(x)-g(x)=0,然后对x分类求解得答案.
解答 解:(1)由g(x)=$\frac{1}{{2}^{\left|x\right|}}$+3,
∵|x|≥0,∴2|x|≥1,
∴$0<\frac{1}{{2}^{|x|}}≤1$,则g(x)=$\frac{1}{{2}^{\left|x\right|}}$+3的值域为(3,4];
(2)由f(x)-g(x)=0,得
1+2x-$\frac{1}{{2}^{\left|x\right|}}$-3=0,即${2}^{x}-2=\frac{1}{{2}^{|x|}}$.
当x≥0时,方程化为(2x)2-2•2x-1=0,解得${2}^{x}=\sqrt{2}+1$,∴x=$lo{g}_{2}(\sqrt{2}+1)$;
当x<0时,方程化为2x-2=2x,此式显然无解.
综上,满足方程f(x)-g(x)=0的x的值为$lo{g}_{2}(\sqrt{2}+1)$.
点评 本题考查函数值域的求法,考查了指数方程的解法,是基础题.
练习册系列答案
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