Question

已知函数f（x）=x²+bx+c（其中b，c为实常数）．
（Ⅰ）若b＞2，且y=f（sinx）（x∈R）的最大值为5，最小值为-1，求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在这样的函数y=f（x），使得{y|y=x²+bx+c，-1≤x≤0}=[-1，0]？若存在，求出函数y=f（x）的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）问题转化为二次函数y=x²+bx+c在给定区间[-1，1]上的最值问题，即要判断函数在[-1，1]上的单调性，继而得到函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）问题转化为二次函数y=x²+bx+c的定义域与值域为[-1，0]，通过对参数b分类讨论，得到关于b与c的关系式，继而得到函数y=f（x）的解析式．

解答：解：（Ⅰ）由条件知f（x）=x²+bx+c，x∈[-1，1]的最大值为5，最小值为-1
而b＞2，则对称轴x=-

b

2

＜-1，
则

f(-1)=-1 f(1)=5

，即

c-b+1=-1 b+c+1=5

，解得

c=1 b=3

则f（x）=x²+3x+1．
（Ⅱ）①若b≥2，则x=-

b

2

≤-1，
则

c-b+1=-1 c=0

，解得

c=0 b=2

，此时f（x）=x²+2x
②若b≤0，则x=-

b

2

≥0，
则

c-b+1=0 c=-1

，解得

c=-1 b=0

，此时f（x）=x²-1
③若0＜b≤1，则x=-

b

2

∈[-

1

2

，0)，
则

c-b+1=0 c- b2 4 =-1

，解得

c=-1 b=0

（舍）或

c=3 b=4

（舍），
此时不存在函数f（x）
④若1＜b＜2，则x=-

b

2

∈(-1，-

1

2

)，
则

c=0 c- b2 4 =-1

，解得

c=0 b=2

（舍）或

c=0 b=-2

（舍），
此时不存在函数f（x）
综上所述存在函数f（x）=x²-1和f（x）=x²+2x满足条件．

点评：本题以二次函数为载体，考查函数与方程的综合运用，考查二次函数解析式的常用解法及分类讨论，转化思想，充分利用二次函数的性质是解题的关键