Question

在△ABC中，A，B为锐角，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=

3

5

，sinB=

10

10

．
（1）求角C；
（2）若三角形的面积S=

1

2

，求a，b，c的值．

Answer 1

分析：（1）根据同角三角函数的关系和二倍角余弦公式，算出cosB=

3 10

10

、sinA=

5

5

且cosA=

2 5

5

．再利用两角和的余弦公式得到cos（A+B）=

2

2

，从而得到A+B=

π

4

，利用三角形内角和定理可得角C=

3π

4

．
（2）由正弦定理的面积公式，算出ab=

2

，由（1）的结论和正弦定理得到a：b=

2

，解出a=

2

且b=1．最后根据余弦定理算出边c=

5

，得到本题答案．

解答：解：（1）∵A、B为锐角，sinB=

10

10

，
∴cosB=

1-sin2B

=

3 10

10

．
又∵cos2A=1-2sin²A=

3

5

，
∴解之得sinA=

5

5

，cosA=

1-sin2A

=

2 5

5

．
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=

2 5

5

×

3 10

10

-

5

5

×

10

10

=

2

2

．
∵0＜A+B＜π，∴A+B=

π

4

，可得角C=π-（A+B）=

3π

4

．
（2）∵三角形的面积S=

1

2

absinC=

1

2

，
∴ab=

1

sinC

=

2

又∵sinA：sinB=

5

5

；

10

10

=

2

，可得a：b=

2

∴a=

2

，b=1．根据余弦定理，得
c²=a²+b²-2abcosC=2+1-2×1×

2

cos

3π

4

=5
∴c=

5

综上所述，a，b，c的值分别为

2

，1，

5

．

点评：本题给出三角形ABC中两个角的三角函数值，求角C大小并在已知三角形面积的情况下解此三角形．着重考查了同角三角函数的关系、二倍角的余弦公式和正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．