题目内容
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x，则称（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数
，请你根据上面探究结果，解答以下问题（1）函数f（x）=
x3-
x2+3x-
的对称中心为 ；（2）计算
+…+f（
）= ．
【答案】分析：（1）根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数f（x）=
x3-
x2+3x-
的对称中心．
（2）由f（x）=
x3-
x2+3x-
的对称中心为（
，1），知f（x）+f（1-x）=2，由此能够求出
+…+f（
）．
解答：解：（1）∵f（x）=
x3-
x2+3x-
，
∴f′（x）=x2-x+3，f''（x）=2x-1，
令f''（x）=2x-1=0，得x=
，
∵f（
）=
+3×
=1，
∴f（x）=
x3-
x2+3x-
的对称中心为（
，1），
（2）∵f（x）=
x3-
x2+3x-
的对称中心为（
，1），
∴f（x）+f（1-x）=2，
∴
+…+f（
）=2×1006=2012．
故答案为：（
，1），2012．
点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题．
x3-x2+3x-的对称中心．（2）由f（x）=
x3-x2+3x-的对称中心为（，1），知f（x）+f（1-x）=2，由此能够求出+…+f（）．解答：解：（1）∵f（x）=
x3-x2+3x-，∴f′（x）=x2-x+3，f''（x）=2x-1，
令f''（x）=2x-1=0，得x=
，∵f（
）=+3×=1，∴f（x）=
x3-x2+3x-的对称中心为（，1），（2）∵f（x）=
x3-x2+3x-的对称中心为（，1），∴f（x）+f（1-x）=2，
∴
+…+f（）=2×1006=2012．故答案为：（
，1），2012．点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题．
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