Question

已知等差数列{b_n}的前n项和为T_n，且T₄=4，b₅=6．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若正整数n₁，n₂，…，n_t，…满足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t，…且b₃，b₅，bn1，bn2，…，bnt，…成等比数列，求数列{n_t}的通项公式（t是正整数）；
（3）给出命题：在公比不等于1的等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，若a_m，a_m+2，a_m+1成等差数列，则S_m，S_m+2，S_m+1也成等差数列．试判断此命题的真假，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）本题是对数列的基本量的考查，根据通项公式、前n项和公式公式，算出公差和首项，写出通项公式．
（2）根据等比数列中前两项求出公比，写出通项bnt=b₅•3^t=2•3^t+1 ，又bnt是{bn}中的第n_t项，又可表示成b_nt=2n_t-4．根据这两式的相等性写出{n_t}的通项．
（3）由a_m，a_m+2，a_m+1成等差数列，求出公比q=-

1

2

_{^{再利用等差数列定义判断}}S_m，S_m+2，S_m+1是否成等差数列．

解答：解：（1）由已知，

4b1+6d=4 b1+4d=6

，∴d=2，b₁=-2，∴bn=b₁+（n-1）d=2n-4．
（2）b3=2，且b₃，b₅，bn1，bn2，…，bnt，…成等比数列，所以公比q=

b5

b3

=3，所以b_nt=b₅•3^t=2•3^t+1，t∈N^*．
又b_nt=2n_t-4，所以2n_t-4=2•3^t+1，所以n_t=3^t+1+2，t∈N^*．
 （3）此命题为真命题．
若a_m，a_m+2，a_m+1成等差数列，即a₁q ^m-1+a₁q^m=2a₁q ^m+1，移向化简整理得qm-1（2q2-q-1）=0，q=-

1

2

_^，
S_m+2-S_m=a _m+1+a _m+2=a _m+2 （

1

q

+1）=-a _m+2．S_m+1-S_m+2=-a _m+2．∴S_m，S_m+2，S_m+1也成等差数列．

点评：本题考查等差数列通项公式求解，等差数列的判定，等比数列的通项公式及应用．考查阅读分析、理解、计算能力．