Question

(1)写出函数y=x²-2x的单调区间及其图像的对称轴,观察：在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点?

(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图像的对称轴,观察：在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点?

(3)定义在［-4,8］上的函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图像如图所示,请补全函数y=f(x)的图像,并写出其单调区间,观察：在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点?

(4)由以上你发现了什么结论?试加以证明.

Answer 1

思路分析：本题探讨函数的单调性的性质.利用归纳、猜想、证明的方法得到结论，用定义证明结论.

解：(1)函数y=x²-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,单调性相反.

(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,单调性相反.

(3)函数y=f(x),x∈［-4,8］的图像如图所示.

    函数y=f(x)的单调递增区间是［-4,-1］,［2,5］;单调递减区间是［5,8］,［-1,2］;区间［-4,-1］和区间［5,8］关于直线x=2对称,单调性相反,区间［-1,2］和区间［2,5］关于直线x=2对称,单调性相反.

(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:

    不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数,区间［a,b］关于直线x=m的对称区间是［2m-b,2m-a］.

    由于函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).

    设2m-b≤x₁＜x₂≤2m-a,则b≥2m-x₁＞2m-x₂≥a,

f(x₁)-f(x₂)=f(2m-x₁)-f(2m-x₂).

又∵函数y=f(x)在［a,b］上是增函数,∴f(2m-x₁)-f(2m-x₂)＞0.

∴f(x₁)-f(x₂)＞0.

∴f(x₁)＞f(x₂).

∴函数y=f(x)在区间［2m-b,2m-a］上是减函数.

∴当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数时,在［a,b］关于直线x=m的对称区间［2m-b,2m-a］上则是减函数,即单调性相反.

    因此有结论:如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.