Question

已知集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），k（A）表示a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（1）已知集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求k（P）和k（Q）；
（2）若集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，证明：k(A)=

n(n-1)

2

；
（3）求k（A）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意知k（P）=5，k（Q）=6
（2）a_i+a_j（1≤i＜j≤n）共有

C

2 n

=

n(n-1)

2

个．所以k(A)≤

n(n-1)

2

．然后利用题设条件证明所有a_i+a_j（1≤i＜j≤n）各不相同．
（3）设a₁＜a₂＜＜a_n，所以a₁+a₂＜a₁+a₃＜…＜a₁+a_n＜a₂+a_n＜…＜a_n-1+a_n．由此能够推出k（A）的最小值2n-3．

解答：解：（1）由题意知K（P）中的值有6，8，10，12和14五个值，∴k（P）=5，
K（Q）中的值有6，10，18，12，20，24，∴k（Q）=6
（2）证明：a_i+a_j（1≤i＜j≤n）共有

C

2 n

=

n(n-1)

2

个
所以k(A)≤

n(n-1)

2

下面证明所有a_i+a_j（1≤i＜j≤n）各不相同
任取a_i+a_j和a_k+a_l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n）
当j=l时，若a_i+a_j=a_k+a_l，则a_i=a_k，矛盾
当j≠l时，若a_i+a_j=a_k+a_l，则a_i+a_j＜2a_j=2^j+1≤a_l＜a_k+a_l
即a_i+a_j≠a_k+a_l
所以所有a_i+a_j（1≤i＜j≤n）各不相同，所以k(A)=

n(n-1)

2

（3）不妨设a₁＜a₂＜＜a_n，
所以a₁+a₂＜a₁+a₃＜＜a₁+a_n＜a₂+a_n＜＜a_n-1+a_n
所以a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中至少有2n-3个不同的数，即k（A）≥2n-3
取A={1，2，3，n}，则a_i+a_j∈{3，4，5，••，2n-1}共2n-3个
所以k（A）的最小值2n-3

点评：本题考查集合与元素的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．