Question

已知函数y=a^x+2-2（a＞0，a≠1）过定点A（x，y），且点A（x，y）满足方程mx+ny+2=0（m＞0，n＞0），则

1

m

+

2

n

的最小值为

4

．

Answer 1

分析：最值问题经常利用均值不等式求解，适时应用“1”的代换是解本题的关键．函数y=a^x+2-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，知A（-2，-1），点A在直线mx+ny+2=0上，得m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，用1的变换构造出可以用基本不等式来求最值．

解答：解：由已知定点A坐标为（-2，-1），由点A在直线mx+ny+2=0上，
∴-2m-n+2=0，即m+

1

2

n=1，
又mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

2

n

=(

1

m

+

2

n

)(m+

1

2

n)=

m+ 1 2 n

m

+

2m+n

n

=2+

1 2 n

m

+

2m

n

≥2+2•

1 2 n m • 2m n

=4，
当且仅当m=

1

2

，n=1时取等号．
故答案为4．

点评：当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值．也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立．均值不等式是不等式问题中的确重要公式，应用十分广泛．在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．