Question

设椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，其一个顶点的坐标是（1，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为2的直线l过椭圆C在y轴正半轴上的焦点，且与该椭圆交于A、B两点，求AB的中点坐标．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程，利用离心率为，其一个顶点的坐标是（1，0），求出几何量，即可求得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线方程代入椭圆方程．利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为，其焦点为（0，±c）（2分）
由已知得 b²=1，，（6分）
又a²=b²+c²（8分）∴a²=2，c=1
∴椭圆C的标准方程为（9分）
（Ⅱ）直线l的方程为 y-1=2（x-0），即y=2x+1
设A、B两点的坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
AB中点坐标为M（x，y）
由得6x²+4x-1=0（12分）
∴，
∴AB中点坐标为（15分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．