题目内容

下列几个结论：
①“x＜-1”是“x＜-2”的充分不必要条件；
②
∫
1
0
(ex+sinx)dx=e-cos1；
③已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=
1
a
+
4
b
的最小值为
9
2
；
④若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan
aπ
3
的值为-
3
；
⑤函数f(x)=2sin(2x-
π
3
)-1的对称中心为(
kπ
2
+
π
6
，0)(k∈Z)．
其中正确的是
②③④
②③④
（写出所有正确命题的序号）
分析：由不等式的性质与充要条件的定义进行推理，得①不正确；由积分计算公式和微积分基本定理，可得②的积分计算正确；根据a+b=2将1=
1
2
（a+b）代入y表达式，再利用基本不等式算出y的最小值为
9
2
，得③正确；根据指数运算性质算出a=2，再由诱导公式和特殊角的三角函数值，算出tan
aπ
3
的值为-
3
，得④正确；根据三角函数图象的对称中心的公式，算出函数f(x)=2sin(2x-
π
3
)-1图象的对称中心为(
kπ
2
+
π
6
，1)(k∈Z)，故⑤不正确．
解答：解：对于①，若“x＜-1”成立，则“x＜-2”不一定成立．
反之，若“x＜-2”成立，则“x＜-1”一定成立．
因此“x＜-1”是“x＜-2”的必要不充分条件，故①不正确；
对于②，由积分公式可得
∫
1
0
(ex+sinx)dx=（ex-cosx）
|
1
0
=（e1-cos1）-（e0-cos0）=e-cos1，故②正确；
对于③，由于a＞0，b＞0，a+b=2，
可得y=
1
a
+
4
b
=
1
2
（a+b）（
1
a
+
4
b
）=
1
2
（5+
b
a
+
4a
b
）≥
1
2
（5+2
b
a
•
4a
b
）=
9
2
，
当且仅当b=2a=
2
3
时等号成立．
因此可得：y=
1
a
+
4
b
的最小值为
9
2
，故③正确；
对于④，若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则9=3a，可得a=2．
∴tan
aπ
3
=tan
2π
3
=-tan
π
3
=-
3
，故④正确；
对于⑤，对函数f(x)=2sin(2x-
π
3
)-1，令2x-
π
3
=kπ（k∈Z），可得x=
π
6
+
1
2
kπ（k∈Z），
所以函数f(x)=2sin(2x-
π
3
)-1图象的对称中心为(
kπ
2
+
π
6
，1)(k∈Z)，故⑤不正确．
综上所述，正确的命题是②③④．
故答案为：②③④
点评：本题给出几个命题，求出其中的真命题．着重考查了三角函数的图象与性质、三角函数的诱导公式、积分计算公式与微积分基本定理、利用基本不等式求最值和充要条件的判断等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
有下列几个命题：
①函数y=
1
x+1
在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是减函数；
②已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；
③已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x(1+
3x
)，则当x＜0时，f(x)=-x(1-
3x
)；
④已知定义在R上函数f（x）满足对?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，则f（x）是R上的增函数；⑤如果a＞1，则函数f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）有两个零点．
其中正确命题的序号是
 
．（写出全部正确结论的序号）
有下列几个命题：
①函数y=
1
x+1
在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是减函数；
②已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；
③已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x(1+
3x
)，则当x＜0时，f(x)=-x(1-
3x
)；
④已知定义在R上函数f（x）满足对?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，则f（x）是R上的增函数；⑤如果a＞1，则函数f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）有两个零点．
其中正确命题的序号是______．（写出全部正确结论的序号）
有下列几个命题：
①函数在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是减函数；
②已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；
③已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，，则当x＜0时，；
④已知定义在R上函数f（x）满足对?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，则f（x）是R上的增函数；⑤如果a＞1，则函数f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）有两个零点．
其中正确命题的序号是    ．（写出全部正确结论的序号）

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