题目内容

四个纪念币A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．

将这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示正面向上的纪念币的个数．
（Ⅰ）求ξ的取值及相应的概率；
（Ⅱ）求在概率p（ξ）中，p（ξ=2）为最大时，实数a的取值范围．

解：（I）ξ可能取值为0，1，2，3，4．
其中p（ξ=0）=C₂⁰（1- $\text{[math]}$ ）²C₂⁰（1-a）2= $\text{[math]}$ （1-a）²p（ξ=1）=C₂¹ $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）C₂⁰（1-a）²+C₂⁰（1- $\text{[math]}$ ）²•C₂¹a（1-a）= $\text{[math]}$ （1-a）
p（ξ=2）=C₂²（ $\text{[math]}$ ）²C₂⁰（1-a）²+C₂¹ $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）C₂¹a（1-a）+C₂⁰（1- $\text{[math]}$ ）²•C₂²a ²= $\text{[math]}$ （1+2a-2a ²）
p（ξ=3）=C₂²（ $\text{[math]}$ ）²C₂¹a（1-a）+C₂¹ $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）C₂²a ²= $\text{[math]}$
p（ξ=4）=C₂²（ $\text{[math]}$ ）²C₂²a ²= $\text{[math]}$ a ²（II）∵0＜a＜1，
∴p（ξ=0）＜p（ξ=1），p（ξ=4）＜p（ξ=3）
又p（ξ=2）-p（ξ=1）= $\text{[math]}$ （1+2a-2a²）- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ≥0
$\text{[math]}$ （1+2a-2a ²）- $\text{[math]}$ ≥0
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
解得a∈[ $\text{[math]}$ ]
分析：（I）由题意知ξ可能取值为0，1，2，3，4．根据所给的四个纪念币投掷时正面向上的概率，根据这四个纪念币是否向上是相互独立的，结合变量对应的事件写出变量对应的概率．
（II）根据a是概率，得到a的范围，根据a的范围比较出两个概率之间的大小关系，p（ξ=0）＜p（ξ=1），p（ξ=4）＜p（ξ=3），要求p（ξ=2）为最大时a的值，只要比较与ξ=3，ξ=2与ξ=1的大小，解不等式组得到结果．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列，考查分布列中概率的性质，考查不等式组的解法，是一个综合题，解本题的关键是根据a的范围，看出五个概率之间的大小关系．