Question

设f（x）=

ax

x+a

（a≠0），令a₁=1，a_n+1=f（a_n），又b_n=a_n•a_n+1，n∈N^*
（1）判断数列{

1

an

}是等差数列还是等比数列并证明；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：an+1=

a•an

an+a

．将其变形可得

1

an+1

-

1

an

=

1

a

，由等差数列的定义进而得到答案．
（2）由（1）可得

1

an

=1+(n-1)

1

a

，an=

a

n+a-1

．
（3）设S_n是数列{b_n}的前n项和．由（1）可得b_n=a_n•a_n+1=a（a_n-a_n+1），利用分组求和的方法求出答案即可．

解答：解：（1）由a_n+1=f（a_n）可得：an+1=

a•an

an+a

．
将其变形可得a_n•a_n+1=a（a_n-a_n+1），即

1

an+1

-

1

an

=

1

a

，
所以数列{

1

an

}是首项为1，公差为

1

a

的等差数列．
（2）由（1）可得

1

an

=1+(n-1)

1

a

，
所以

1

an

=

n-1+a

a

，即an=

a

n+a-1

．
所以数列{a_n}的通项公式为an=

a

n+a-1

．
（3）设S_n是数列{b_n}的前n项和．
由（1）可得b_n=a_n•a_n+1=a（a_n-a_n+1），
所以Sn=a(a1-an+1)=

na

n+a

．
所以数列{b_n}的前n项和为

na

n+a

．

点评：解决此类问题的关键是数列掌握等差数列的通项与前n项和的公式，以及其他数列求和的方法如分组求和、错位相减、倒序相加、裂项相消等方法．